El valor numérico de una expresión algebraica consiste en encontrar el valor numérico real, sustituyendo en las literales el valor correspondiente
V.N = valor numérico
V.N = 2a^2b
a=2
b=3
V.N 2(2)^2 (3)
= 2 (4)(3)
V.N =24
a=-5
b=-1/2
V.N =2(-5)^2 (-.5)
V.N=-25
m=-2
n=-4
V.N = 4mn^2/2mn
V.N 4 (-2)(-4)^2/ 2(-2))-4)
V.N = 4(-2)(16)/ 2(8)
=4(32)/16
=128/16
V.N=-8
domingo, 13 de diciembre de 2015
TERMINOS SEMEJANTES
Es cuando dos términos algebraicos son semejantes, es decir, cuando tienen las mismas literales y los mismos exponentes no importan los coeficientes ni los signos.
Ejemplos de Términos Semejantes:
x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2x)
5xyrb es un término semejante con –xyrb
4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
5ty es semejante a 3ty
5kl4 es semejante a -2kl4
68lky5 es semejante a -96lky5
378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c
EXPRESION ALGEBRAICA
Una expresión algebraica está conformada por cuatro elementos que son
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CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Las expresiones algebraicas se clasifican por el número que las componen
MONOMIOS: Expresión algebraica formada por un solo termino : a, 2abc
POLINOMIOS: expresión algebraica formada por dos o más términos algebraicos
Binomios : expresión algebraica formada por 2 términos algebraicos : a+b. 2x^2- 3y^3
Trinomios expresión algebraica formada por tres términos algebraicos : 2a+b-c, -4551a+75b*4k
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CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Las expresiones algebraicas se clasifican por el número que las componen
MONOMIOS: Expresión algebraica formada por un solo termino : a, 2abc
POLINOMIOS: expresión algebraica formada por dos o más términos algebraicos
Binomios : expresión algebraica formada por 2 términos algebraicos : a+b. 2x^2- 3y^3
Trinomios expresión algebraica formada por tres términos algebraicos : 2a+b-c, -4551a+75b*4k
ALGEBRA
Es una parte de la matemáticas que se encarga de estudiar las operaciones y sus relaciones en forma general. Utiliza símbolos numéricos conjuntamente con letras. Ejemplos:
a puede ser cualquier número
x el doble de un número cualquiera
a/b la división de dos números cualesquiera
f^3 el cubo de un número cualesquiera
2a + 3b la suma del doble de un número más el triple de otro número
√ a la raíz de un número cualquiera
(a+b) ^2 el cuadrado de la suma de dos números
El lenguaje utilizado recibe el nombre del lenguaje algebraico
1) a + b / a - b la división de dos números entre la resta o diferencia de esos mismos números
2) 2x /3x la división del doble de un número entre el triple del mismo número
a puede ser cualquier número
x el doble de un número cualquiera
a/b la división de dos números cualesquiera
f^3 el cubo de un número cualesquiera
2a + 3b la suma del doble de un número más el triple de otro número
√ a la raíz de un número cualquiera
(a+b) ^2 el cuadrado de la suma de dos números
El lenguaje utilizado recibe el nombre del lenguaje algebraico
1) a + b / a - b la división de dos números entre la resta o diferencia de esos mismos números
2) 2x /3x la división del doble de un número entre el triple del mismo número
OPERACIONES CON RADICALES
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse o restarse dos radicales cuando son semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicales
a^n√ K + b ^n √ K + c^n √ K = ( a+b+c)^n √ K
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al indice y al exponente del radicando se obtiene un radical equivalente
^nk √ a ^m-k = ^n √ a ^m
Reducción de radicales
Hablamos del mínimo común múltiplo de los indices que será el común indice.
Dividimos el común indice por cada uno de los indices y cada resultado se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el indice ,el factor correspondiente se deja en el radicando.
Un exponente es igual al indice, el factor correspondiente sale del radicando.
Un exponente es mayor al indice, se divide dicho exponente por el indice.
El cociente obtenido es el exponente del factor fuera,
Se descompone el radicando en factores, si
Un exponente es menor que el indice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
Solamente pueden sumarse o restarse dos radicales cuando son semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicales
a^n√ K + b ^n √ K + c^n √ K = ( a+b+c)^n √ K
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al indice y al exponente del radicando se obtiene un radical equivalente
^nk √ a ^m-k = ^n √ a ^m
Reducción de radicales
Hablamos del mínimo común múltiplo de los indices que será el común indice.
Dividimos el común indice por cada uno de los indices y cada resultado se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el indice ,el factor correspondiente se deja en el radicando.
Un exponente es igual al indice, el factor correspondiente sale del radicando.
Un exponente es mayor al indice, se divide dicho exponente por el indice.
El cociente obtenido es el exponente del factor fuera,
Se descompone el radicando en factores, si
Un exponente es menor que el indice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
RADICALES
En aritmética es importante realizar la raíz cuadrada de números reales.
Una raíz cuadrada es el proceso a elevar a una cantidad al cuadrado, en este caso se trata de encontrar un número que multiplicado por sí mismo proporcione que se encuentra dentro del símbolo de la raíz.
Las raíces cuadradas se los números reales deben cumplir las siguientes propiedades.
1)Solo se puede obtener raíz cuadrada de números positivos
2) Las raíces cuadradas de números negativos no existen dentro del contexto de los números reales. Estas estudian dentro del campo de los números imaginarios.
√-4 = XR
√(4)(-1) = 2 √-1 = 2 i
Pero√-1 = i
√4 =+2
=-2
3) Una raíz cuadrada presenta dos soluciones una positiva y una negativa.
Cuando una raíz cuadrada no tiene solución exacta esta se puede factorizar de la siguiente manera:
√80 ^2√ 2^4 * 5
= 2 ^4/2 √ 5
= 4 √5
Una raíz cuadrada es el proceso a elevar a una cantidad al cuadrado, en este caso se trata de encontrar un número que multiplicado por sí mismo proporcione que se encuentra dentro del símbolo de la raíz.
Las raíces cuadradas se los números reales deben cumplir las siguientes propiedades.
1)Solo se puede obtener raíz cuadrada de números positivos
2) Las raíces cuadradas de números negativos no existen dentro del contexto de los números reales. Estas estudian dentro del campo de los números imaginarios.
√-4 = XR
√(4)(-1) = 2 √-1 = 2 i
Pero√-1 = i
√4 =+2
=-2
3) Una raíz cuadrada presenta dos soluciones una positiva y una negativa.
Cuando una raíz cuadrada no tiene solución exacta esta se puede factorizar de la siguiente manera:
√80 ^2√ 2^4 * 5
= 2 ^4/2 √ 5
= 4 √5
LEYES DEL LOS EXPONENTES
1) PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE
Cuando tengamos un producto de potencias de la misma base se van a sumar sus exponentes:
a^2 * a^3 = a^(2) + ^(3) = a ^5
a*a*a*a*a=a^5
z^2* z^2*z^2= z^2 ^6+^2=z^10
2)DIVISIÓN SE POTENCIAS DE LA MISMA BASE
En este caso se restan los exponentes del dividendo y e= divisor
a^4 /a^2 = a a a a / aa = a^2
m^4 /m ^6 = m m m m / m m m m m m = 1 / m^2 = m^-2
3) POTENCIA ELEVADA A OTRA POTENCIA (POTENCIA DE POTENCIA)
En este caso se multiplica el exponente de la base por el exponente de la potencia:
(m^2) ^4 = m^2 *m^2* m^2 * m^2 =m^8
m (^2) (^4)= m^8
(m^2b^-1) ^3 = a^6 b^-3 = a^6 / b^3
Cuando tengamos un producto de potencias de la misma base se van a sumar sus exponentes:
a^2 * a^3 = a^(2) + ^(3) = a ^5
a*a*a*a*a=a^5
z^2* z^2*z^2= z^2 ^6+^2=z^10
2)DIVISIÓN SE POTENCIAS DE LA MISMA BASE
En este caso se restan los exponentes del dividendo y e= divisor
a^4 /a^2 = a a a a / aa = a^2
m^4 /m ^6 = m m m m / m m m m m m = 1 / m^2 = m^-2
3) POTENCIA ELEVADA A OTRA POTENCIA (POTENCIA DE POTENCIA)
En este caso se multiplica el exponente de la base por el exponente de la potencia:
(m^2) ^4 = m^2 *m^2* m^2 * m^2 =m^8
m (^2) (^4)= m^8
(m^2b^-1) ^3 = a^6 b^-3 = a^6 / b^3
OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTIFICA
RECUERDA: La notación científica con cantidades muy pequeñas o microscópicas utiliza potencias de 10 pero negativas
Para sumar o restar con notación científica las cifras o cantidades deben estar expresadas en la misma potencia. Para sumar o restar con notación científica las potencias deben ser iguales.
Veamos los siguientes ejemplos:
2.5 * 10^2 + 3.8 * 10^2
2.5 +3.8 = 6.3
6.3 * 10^2 = 6.30 por lo tanto = 630
2.5 * 10^3 +4.7 * 10^2=
2.5 * 10^2 + 4.7 * 10^2 =
25.0 + 4.7 = 29.7 =29.7 * 10^2 = 2970
En la multiplicación se suman los exponentes y se realiza la multiplicación normal:
(3.4 * 10^2)(8.25 * 10^2)=
10^2 + ^2 = 10^4
3.4 * 8.25 = 28.0500
28.0500 * 10^4= 280500
En la división los exponentes se restan:
2.5 * 10^5 / 3.4 * 10^2=
10^5 - ^2= 10^3
2.5/3.4 = 0.7
0.7 * 10^3 = 700
POTENCIAS CON EXPONENTES
En esta operación se multiplica el exponente de la potencia por el exponente de la base:
(2.5 * 10^2) ^3 =
10^2 * ^3= 10^6
2.5 * 2.5 = 6.25 *2.5= 15.625
15.35 * 10 ^6 = 15625000
Para sumar o restar con notación científica las cifras o cantidades deben estar expresadas en la misma potencia. Para sumar o restar con notación científica las potencias deben ser iguales.
Veamos los siguientes ejemplos:
2.5 * 10^2 + 3.8 * 10^2
2.5 +3.8 = 6.3
6.3 * 10^2 = 6.30 por lo tanto = 630
2.5 * 10^3 +4.7 * 10^2=
2.5 * 10^2 + 4.7 * 10^2 =
25.0 + 4.7 = 29.7 =29.7 * 10^2 = 2970
En la multiplicación se suman los exponentes y se realiza la multiplicación normal:
(3.4 * 10^2)(8.25 * 10^2)=
10^2 + ^2 = 10^4
3.4 * 8.25 = 28.0500
28.0500 * 10^4= 280500
En la división los exponentes se restan:
2.5 * 10^5 / 3.4 * 10^2=
10^5 - ^2= 10^3
2.5/3.4 = 0.7
0.7 * 10^3 = 700
POTENCIAS CON EXPONENTES
En esta operación se multiplica el exponente de la potencia por el exponente de la base:
(2.5 * 10^2) ^3 =
10^2 * ^3= 10^6
2.5 * 2.5 = 6.25 *2.5= 15.625
15.35 * 10 ^6 = 15625000
NOTACION CIENTIFICA
LA NOTACIÓN CIENTÍFICA
Nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla aquellas cantidades numéricas que son demasiado grandes o por el contrario, demasiado pequeñas.
Se conoce también como Notación Exponencial y puede definirse como el Producto de un número que se encuentra en el intervalo comprendido del 1 al 10, multiplicándose por la potencia de 10.
Por ejemplo, tenemos la siguiente cantidad:
139000000000 cm.
Ahora lo llevamos a la mínima expresión y tenemos como respuesta:
¿Cómo lo llevamos a la mínima expresión?
- Primero, empezaremos a contar los espacios que separan a cada número de derecha a izquierda, hasta llegar al último número entero.
- Antes de llegar a dicho número, separamos la cantidad con un punto dejando como compañía dos decimales más, (en éste caso 3 y 9).
- Por último, multiplicamos la cantidad (1.39) por 10 (que es la base) y lo elevamos a la potencia 11 (Ya que son 11 espacios que separan a cada número).
Veamos otro ejemplo, tenemos 0.000096784 cm.
En éste caso, el procedimiento será de la siguiente manera:
- Partiremos desplazando el punto de derecha a izquierda, hasta llegar al primer número diferente de cero (en éste caso 9).
- Separamos el número seguido por dos decimales (6 y 7) multiplicado por 10 como base constante.
- La potencia, a diferencia del primer ejemplo, será negativa ya que contamos de izquierda a derecha, tomando en cuenta únicamente los números enteros.
Es decir, que tenemos como resultado:
O bien:
Aproximado, en donde la respuesta también sigue siendo válida.
Cabe mencionar, que se seleccionaron únicamente los números enteros, debido a que en términos matemáticos los ceros a la izquierda no cuentan y no deben ser incluidos.
La Notación Científica puede utilizarse en las Operaciones Algebraicas Básicas que conocemos: Suma, Resta, Multiplicación y División.
NÚMEROS RACIONALES
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales recibe el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo:
El conjunto de los números reales está formado por una serie de subconjuntos de números que definiremos a continuación:
Los números naturales que surgen con la necesidad de contar
Los números enteros que complementan a los naturales pues son contienen a los negativos y el cero.
El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. Es decir, el conjunto de los números racionales está compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una fracción cuyo numerador y denominador (distinto de cero) son números enteros.
Ejemplo:
- El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.
Puesto que los naturales están incluidos en los enteros y todos los enteros pueden ser representados como un número racional, se dice que los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales.
2- Propiedades.
Las propiedades de las operaciones que involucran números racionales se extienden naturalmente a los números reales: Las operaciones básicas tienen como resultado números reales; es decir, de la adición, sustracción, multiplicación y división de números reales se obtiene siempre un número real. Es decir, el conjunto de los números reales es cerrado.
La adición y la multiplicación de números reales satisfacen las propiedades de conmutatividad y asociatividad; cada operación tiene un elemento neutro y cada número real tiene su elemento inverso, tanto aditivo como multiplicativo (excepto el 0, que no tiene inverso multiplicativo).
Además, la multiplicación es distributiva respecto de la adición. Es un conjunto denso, esto es, entre dos números reales siempre hay otro número real.Los números racionales, cuando se escriben como números decimales, son finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos. Sin embargo, los números irracionales son siempre números decimales infinitos pero no periódicos. Considerando su representación en la recta numérica, los números reales ocupan la recta numérica por completo, ya que los números irracionales completan todos los espacios dejados por los racionales en la recta numérica.
Propiedades de la Suma de números reales
1 Interna: El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
a + b
2 Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c) ·
3 Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
4 Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
5 Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
e − e = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
−(− ) =
Diferencia de números reales
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
a − b = a + (−b)
Producto de números reales
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.
Propiedades:
1 Interna:
El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.
a · b
2 Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(e · ) · = e · ( · )
3 Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
4 Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
a ·1 = a
5 Elemento opuesto: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
6 Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
7 Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
División de números reales
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.
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